Alvaro Company (Firenze) ha studiato composizione al Conservatorio "L. Cherubini" di Firenze con R. Cicionesi, L. Dallapiccola, P. Fragapane, V. Frazzi e C. Prosperi, conseguendo i diplomi di Musica Corale e di Composizione (1955/56).
Chitarrista allievo di Andrés Segovia - all'Accademia Chigiana dal 1950 al '54 - ha fondato nel 1960 il Corso di Chitarra classica al Conservatorio di Firenze, dove ha insegnato fino a tutto il '97; nel '65 ha fondato il medesimo corso al Liceo Musicale "O. Vecchi" di Modena; nel '61, su richiesta del direttore, ha svolto l'insegnamento della stessa materia al Conservatorio "C. Monteverdi" di Bolzano e nel '67, sempre su invito del direttore, è stato docente al Conservatorio di "S. Cecilia" in Roma.
 

Dal '57 ha intrappreso un'intensa attività concertistica da solo e in duo col violinista S. Dei collaborando anche con solisti e in formazioni cameristiche di fama internazionale (quali il violista D. Asciolla, il flautista S. Gazzelloni, i Solisti dell'Orchestra Filarmonica di Berlino, i Solisti della Scala, i Solisti Veneti ecc.) oltre che con vari direttori d'orchestra (tra cui P. Bellugi, L. Berio. H. W. Henze, B. Maderna). Tale attività è durata fino al '70, anno in cui una lesione al nervo del braccio destro lo ha costretto ad interromperla, con l'eccezione di cinque concerti tenuti nel gennaio '73 al Teatro alla Scala, su invito del direttore B. Maderna.

Ha ideato una metodologia esecutiva rivolta agli strumentisti in genere, cui ha dato il nome di "Biodinamica musicale"; tale tecnica interpretativa, basata sul rapporto psico-fisico esistente tra andamento, pulsazione, respiro e gesto, aumentando la consapevolezza del proprio corpo e delle naturali energie emotive, armonizza il contatto con lo strumento in una più intima e completa partecipazione al fatto musicale; essa consente inoltre un'integrazione spontanea con le diverse situazioni degli spazi sonori (teatri, sale), in una sensibile e armonica sintonia col pubblico.

Come compositore il suo mondo sonoro, nato da radici atonali fin dalla "Fantasia" op. 1 per pianoforte del 1948, aveva adottato la tecnica dodecafonica già dall'op. 3 ("Preludio e Sarabanda" per violino e pianoforte del '53), procedendo in tal senso fino a "Las Seis Cuerdas" op. 8 per chitarra del '63, lavoro che rappresenta il punto d'incontro dei suoi interessi di compositore e di strumentista e che ha aperto nuove vie alla moderna tecnica strumentale della chitarra.

Dopo il '63, per 11 anni compone a scopo didattico solo brani di quel genere, riprendendo infine la sua produzione principale nel '74. Ma da quel momento il suo linguaggio subisce una progressiva trasformazione, che si evidenzia sempre più dopo gli anni '80.

È membro dell'Accademia Nazionale L. Cherubini di Firenze. Nel 1991 una commissione composta da C. Abbado, S. Accardo, G. Gavazzeni, C. M. Giulini, R. Muti, M. Pollini, oltre che dai massimi critici italiani, e presieduta da G. Petrassi, gli ha conferito il "Premio Massimo Mila" "per l'esemplare impegno didattico di una vita". Nel '96 al Primo Convegno Nazionale Chitarristico a Pesaro gli è stato attribuito il "Premio Didattica per Chitarra" e nel '99, in occasione del IV Convegno Nazionale Chitarristico ad Alessandria, gli è stata assegnata la "Chitarra d'oro" per la composizione.